寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

所謂“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”，是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、實(shí)踐研究中獲得的心得體會，是在長見識、悟道理中形成的一種素養(yǎng)。它是把“教”的研究轉(zhuǎn)向“學(xué)”的研究的良好“載體”，利于促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育。寫畫是指用寫作或畫圖的方式表達(dá)對探究數(shù)學(xué)的理解和心得體會。寫畫的結(jié)構(gòu)分為三部分：學(xué)生寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”、教師點(diǎn)評、教學(xué)反思。教師點(diǎn)評和教學(xué)反思的寫作重在激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)?！薄皵?shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)是：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，簡稱“三會”。如何落實(shí)數(shù)學(xué)課程要培育的學(xué)生核心素養(yǎng)呢？長期以來，在教師的指令下圍繞教學(xué)內(nèi)容“刻苦訓(xùn)練”，成了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑。這種機(jī)械、重復(fù)、枯燥的“刻苦訓(xùn)練”方式重在強(qiáng)化知識、形成技能，但缺乏學(xué)生核心素養(yǎng)的培育。為體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程有用、好玩、有趣的學(xué)科育人價(jià)值及培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，筆者提出精簡書面作業(yè)練習(xí)，從練習(xí)“書面作業(yè)”走向?qū)懏嫛皩W(xué)習(xí)體驗(yàn)”，以寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的方式幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，積淀核心素養(yǎng)。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的思考

學(xué)數(shù)學(xué)，比知識更重要的是能主動(dòng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再發(fā)現(xiàn)”，建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)，內(nèi)化于心的儲存，外化于行的應(yīng)用，積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)。貴州師范大學(xué)呂傳漢教授2014年提出“三教”理念，是指基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)，在學(xué)科教學(xué)中教學(xué)生獨(dú)立思考、自主體驗(yàn)、善于表達(dá)，以此促進(jìn)學(xué)生長見識、悟道理的一種教育理念，即教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)的教學(xué)理論，并提倡指導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生采用撰寫學(xué)習(xí)日記、學(xué)習(xí)心得、小論文等方式來教表達(dá)。筆者認(rèn)為，寫畫數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”能表達(dá)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的理解和心得，向語文學(xué)科習(xí)作延伸，提升數(shù)學(xué)表達(dá)力。寫畫數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”也是一種創(chuàng)新型的探究作業(yè)，遵循學(xué)生個(gè)性，從枯燥的“練數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)向雋永的“想數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”，經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”“再建構(gòu)”，弄清知識來龍去脈，運(yùn)用知識舉一反三，在探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、運(yùn)用數(shù)學(xué)的過程中體悟數(shù)學(xué)好玩，達(dá)到數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)。

寫畫數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”有利于培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)。寫畫的起源利于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)、提出問題，確定寫畫緣由及主題，積淀用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；寫畫的內(nèi)容利于發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考問題、探究問題、建構(gòu)模型、增長見識，積淀會用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；寫畫的方式利于發(fā)展學(xué)生用文字、符號、圖表等數(shù)學(xué)語言去表達(dá)對現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的觀點(diǎn)和理解，積淀會用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的實(shí)踐

例如，教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》五年級（上冊）的“植樹問題”一課之后，有的教師會安排學(xué)生做大量的作業(yè)，使其將“植樹問題”的“樹”遷移到其他“非樹”的“植樹問題”生活情境，用“三種模型”（只栽一端：棵數(shù)=段數(shù)。兩端不栽：棵數(shù)=段數(shù)-1。兩端都栽：棵數(shù)=段數(shù)+1）去解決生活中的“植樹問題”，提升問題解決的正確率。筆者認(rèn)為，運(yùn)用課堂總結(jié)的模型在短時(shí)間里解決問題的正確率確實(shí)很高，但隨著時(shí)間的推移，錯(cuò)誤會逐漸增多。其主要原因之一是過于依賴枯燥、重復(fù)訓(xùn)練，缺乏數(shù)學(xué)思考、推理意識，僅僅是一種淺層的“學(xué)會”模仿，并未形成深層的“會學(xué)”能力。而寫畫數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”能引領(lǐng)學(xué)生再次經(jīng)歷、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程，習(xí)得數(shù)學(xué)知識和能力，促進(jìn)學(xué)生從“練數(shù)學(xué)”走向“想數(shù)“創(chuàng)數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”，積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)有后勁。

針對此現(xiàn)象，筆者以寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的方式讓學(xué)生經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再建構(gòu)”過程，品嘗通過寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”獲得數(shù)學(xué)知識的成就感，促進(jìn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感、態(tài)度與價(jià)值觀發(fā)展，培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)“植樹問題”第一課時(shí)后，筆者除了布置適當(dāng)?shù)臅孀鳂I(yè)外，還以“到底栽幾棵？”為題，引導(dǎo)學(xué)生以寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的方式探究“在20米長的小路邊植樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹？”（案例1）的開放性問題。此寫畫的意圖是以問題任務(wù)驅(qū)動(dòng)讓寫畫活動(dòng)在學(xué)生身上真實(shí)發(fā)生，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察“棵數(shù)與段數(shù)”“小路兩邊都栽”的數(shù)學(xué)知識由來，會用數(shù)學(xué)的思維去思考“一一對應(yīng)的只栽一端”及與“兩端都栽、兩端都不栽”的栽法關(guān)聯(lián)，會用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)同一情境不同思維方式下的棵數(shù)模型和同一情境卻栽不同棵數(shù)的好玩、有趣的數(shù)學(xué)價(jià)值。既能夠鞏固已學(xué)知識，又可以回顧與思考知識建構(gòu)的過程。

案例1：學(xué)習(xí)體驗(yàn)

到底栽幾棵

學(xué)了一節(jié)課的“植樹問題”后，給我的感覺是：“‘植樹問題’既簡單又不簡單”，說它簡單，其實(shí)就是除法，說它不簡單，就是有時(shí)不能用除法的商來直接表示要栽的棵數(shù)。估計(jì)也是這個(gè)原因吧！楊老師除了布置2道作業(yè)題外，還布置以“到底栽幾棵”為題目，圍繞“在20米長的小路邊植樹，每隔5米栽一棵”的數(shù)學(xué)信息寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”。我是這樣寫畫的：

20米長的線段，每5米一段，20米里面有多少個(gè)長是5米的一段，列式20÷5=4（個(gè)）或4（段）。有這樣的5米一段就栽一棵樹，共有4段這樣的5米，所以對應(yīng)栽4棵（圖1）。用除法（總長÷段長=棵數(shù)）來計(jì)算，即20÷5=4（棵）。

但是，線段圖上共有5個(gè)端點(diǎn)，挨著的4個(gè)端點(diǎn)都栽樹了，好像有點(diǎn)不公平。如果在最左端點(diǎn)上也栽一棵樹后（圖2），

發(fā)現(xiàn)還是同樣滿足每5米栽一棵的條件，比圖1就多栽了一棵，即可直接用4+1=5（棵）來表示；受圖1栽法的啟發(fā)，我“*”掉圖1右端點(diǎn)上的一棵樹（圖3），也滿足每5米栽一棵的條件，比圖1就少栽了一棵，即可直接用4-1=3（棵）來表示。

你，看吧！想吧！同樣的數(shù)學(xué)信息，解決同一問題“到底栽幾棵”。

圖1—圖3告訴我：有時(shí)栽4棵，有時(shí)栽5棵，還有時(shí)栽3棵，都正確。正好是昨天老師講的“只栽一端”“兩端都栽”“兩端都不栽”的情況。

算式20÷5=4（棵）、4+1=5（棵）、4-1=3（棵）讓我發(fā)現(xiàn)：每種解法都有一個(gè)數(shù)字“4”，第一個(gè)

“4”由“20÷5=4（棵）”而來，第二、三個(gè)算式以“4棵”（只栽一端的情況）為標(biāo)準(zhǔn)，兩端都栽加1棵，兩端都不栽就減1棵。

由此，讓我想到“植樹問題”的三種情況其實(shí)只有一種情況，就是“只栽一端”，用除法（總長÷段長=棵數(shù)）來解決?！皟啥硕荚浴焙汀皟啥硕疾辉浴钡那闆r是“只栽一端”的拓展、變化，就用“棵數(shù)+1”“棵數(shù)-1”來解決。

伙伴們：可要注意?。⌒÷酚袃蛇?，上述我研究的只是針對在小路一邊栽的情況，如果兩邊都栽，還得在一邊栽的情況下*2。

通過對看似簡單的問題畫圖探究，讓我更加理解了“植樹問題”，知道了同一數(shù)學(xué)信息栽出不同棵數(shù)的知識，增長了同一數(shù)學(xué)信息為什么會栽出不同棵數(shù)的見識。

寫到這兒，我又想起：栽3、54、棵都可以，有沒有栽2、6棵也可以；兩端“栽與不栽”都可以，有沒有“中間不栽”的也可以。等待大家繼續(xù)探討吧！

[貴州印江縣新寨鎮(zhèn)中心完全小學(xué)五年級（3）班柳佳玲]

教師點(diǎn)評：佳玲同學(xué)，你圍繞具有挑戰(zhàn)性的“到底栽幾棵”的學(xué)習(xí)任務(wù)，全身心獨(dú)立思考、畫圖探究、通盤考慮，經(jīng)歷了有意義的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。讓我看到、想到，你以畫圖的方式將抽象的思維變成了直觀的理解，從不同視角觀察、思考、表達(dá)，闡述了“植樹問題”的核心——商的靈活運(yùn)用；加深了對“植樹問題”的不同栽法的認(rèn)同；學(xué)會了不同情境下的“植樹問題”解決方法；見證了“想數(shù)學(xué)”“做數(shù)學(xué)”“創(chuàng)數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”在你身上得到了真實(shí)發(fā)生、發(fā)展。不過，老師有兩點(diǎn)補(bǔ)充：一是“植樹問題”并不是關(guān)于“植樹”的數(shù)學(xué)問題，它和四年級學(xué)的“雞兔同籠”一樣，是一種模型，只要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、用數(shù)學(xué)的思維去思考，在生活中一定會找到比如公路兩旁安裝路燈、鋸木頭、衣服扣子等的影子。二是在你成功研究“植樹問題”的基礎(chǔ)之上，老師期待你繼續(xù)研究更長距離、在封閉曲線上的“植樹問題”，并與大家分享。

學(xué)生通過觀察、思考，以文字、圖片、算式表達(dá)的“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”再次經(jīng)歷了“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)，感悟了只栽一端的“棵數(shù)=段數(shù)”模型是“三種模型”之“母”，融會貫通地理解了“三種模型”，關(guān)聯(lián)了“段數(shù)”與“棵數(shù)”，變順向呆板解決求“棵數(shù)”的問題變式為從逆向靈活解決“段數(shù)”“總長”的問題，豐富了思維。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”的感悟

數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的最好途徑是發(fā)現(xiàn)它，沒有什么比依靠親身經(jīng)歷的自我發(fā)現(xiàn)更令人信服。正如上述“植樹問題”的“棵數(shù)與段數(shù)”模型如果作為問題解決的“鑰匙”直接交付給未達(dá)到知識發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、內(nèi)化的學(xué)生，他們用全力也很難理解此數(shù)學(xué)模型，會犯愚蠢的“套算”，會混淆“三種模型”之間的聯(lián)系，會誤認(rèn)為“植樹模型”真有“三種”模型。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”是“數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言”的產(chǎn)物，學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)交流數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考的心得體會，在表達(dá)交流中促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、提升思維品質(zhì)、領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)道理，最終達(dá)到求真理、悟道理、明事理三者的有機(jī)融合和辯證統(tǒng)一。學(xué)生經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”“再建構(gòu)”探究體驗(yàn)過程，并將體驗(yàn)的心得體會寫畫成“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”，內(nèi)化相關(guān)知識，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累問題探究經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生思維品質(zhì)，積淀數(shù)學(xué)課程的學(xué)生核心素養(yǎng)。

寫畫“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”是一種探究性作業(yè)，它既能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展，又能減輕重復(fù)性的作業(yè)負(fù)擔(dān)，提升學(xué)業(yè)質(zhì)量；它從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)和提出問題，利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光；它從對問題的剖析、研究中將所思所想以寫畫形式表達(dá)出來，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。讓學(xué)生從“會做題”走向“會觀察”“會思考”“會表達(dá)”，是積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好方法。

（作者楊通文，系貴州省銅仁市印江土家族苗族自治縣新寨鎮(zhèn)中心完全小學(xué)校長）（《中國民族教育》2023年第3期）