走進(jìn)奇妙的三角形世界

?教學(xué)背景

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念一般要經(jīng)過(guò)從具體形象思維到抽象邏輯思維的過(guò)渡。在教學(xué)中，教師要盡可能聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和前概念知識(shí)，運(yùn)用各種直觀因素，讓學(xué)生借助充分的感性材料，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)一類事物的一般特征和本質(zhì)特征，從而輔助其建構(gòu)抽象的數(shù)學(xué)概念。學(xué)生在一年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)認(rèn)識(shí)過(guò)三角形，也通過(guò)四年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)知道垂直的概念和平行四邊形、梯形的高。人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《三角形的認(rèn)識(shí)》一課著重通過(guò)“操作—辨析—共識(shí)—判斷”的課堂形式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念建構(gòu)，深刻理解概念的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、轉(zhuǎn)化思想等核心素養(yǎng)內(nèi)涵。

?課堂實(shí)錄

情境導(dǎo)入

師：首先我們來(lái)欣賞一組圖片，仔細(xì)觀察你能從圖片中看到三角形嗎？

（出示圖片：古埃及的金字塔、現(xiàn)代的建筑物、起重機(jī)、巨大的鋼架橋）

生1：金字塔的外面是三角形，高架橋中有許多三角形。

生2：建筑物的屋頂是三角形，起重機(jī)固定的支架是三角形。

師：原來(lái)生活中存在著這么多三角形，今天我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)三角形。

三角形的概念

師（板書(shū)“三角形的認(rèn)識(shí)”）：看到三角形三個(gè)字，你想研究三角形的哪些內(nèi)容？

生1：三角形有哪些特征？

生2：什么樣的圖形叫作三角形？

生3：三角形的高指的是什么？

師：同學(xué)們提的問(wèn)題非常有價(jià)值！現(xiàn)在我們就先來(lái)解決什么是三角形，請(qǐng)大家用小棒拼一拼或者在本子上畫(huà)一畫(huà)，創(chuàng)造一個(gè)三角形吧！

（學(xué)生動(dòng)手“創(chuàng)造”三角形）

師：現(xiàn)在請(qǐng)一個(gè)小老師介紹一下自己是如何創(chuàng)造三角形的。

生1：我將3根小棒連起來(lái)拼成了一個(gè)三角形。

生2：我在本子上畫(huà)了3條連起來(lái)的線段，就畫(huà)好三角形了。

師：不管拼一拼還是畫(huà)一畫(huà)，我們都用到了什么？

生（齊答）：3條線段。

師：那么大家觀察一下，本來(lái)每條線段有2個(gè)端點(diǎn)，3條線段應(yīng)該有6個(gè)端點(diǎn)，但為什么大家創(chuàng)造的三角形只有3個(gè)端點(diǎn)了呢？

生3：因?yàn)槊肯噜弮蓷l線段的端點(diǎn)相連。

師：現(xiàn)在你能結(jié)合剛才創(chuàng)造三角形的過(guò)程說(shuō)一說(shuō)什么是三角形嗎？

生4：三條線段組成的圖形叫做三角形。

生5：我覺(jué)得除了三條線段，這三條線段還必須首尾相連圍成。

師：說(shuō)得很好，像這樣三條線段圍成的圖形叫作三角形。

師（課件演示）：在課前做的練習(xí)中，我們也一起判斷了什么樣的圖形是三角形，老師對(duì)同學(xué)們的判斷結(jié)果做了一個(gè)統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)看大屏幕?，F(xiàn)在你能運(yùn)用剛學(xué)的知識(shí)來(lái)解決一下嗎（見(jiàn)上圖）？

師：最后一個(gè)圖形有這么多人發(fā)生分歧，現(xiàn)在你更支持哪個(gè)觀點(diǎn)？為什么？

生6：最后一個(gè)圖形的三條線段沒(méi)有首尾相連圍成，所以不是三角形……

師：認(rèn)識(shí)了三角形后，誰(shuí)愿意根據(jù)自學(xué)成果分享一下自己標(biāo)注出的三角形各部分的名稱。

生7：三角形有三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊、三個(gè)角。

生8：三角形還可以用字母來(lái)表示，“△ABC”。

生9：三角形還有“高”和“底”。

三角形的高

師：同學(xué)們?cè)谧詫W(xué)過(guò)程中都提到了三角形的高，老師這里有一個(gè)三角形，它的高在哪里？誰(shuí)能指一指？

生1（邊說(shuō)邊比劃）：三角形的中間畫(huà)一條垂直的線。

生2：從三角形的頂點(diǎn)到一條邊垂直。

師：那就請(qǐng)同學(xué)們嘗試著畫(huà)出三角形的高，想一想，你準(zhǔn)備怎么畫(huà)，用什么工具？

生1：量角器。

生2：三角尺。

（學(xué)生上黑板展示畫(huà)高的過(guò)程）

師：這位同學(xué)畫(huà)高的過(guò)程介紹非常完整……老師也將畫(huà)三角形高的方法做成了一個(gè)微課，我們一起來(lái)欣賞一下：先找準(zhǔn)三角形的頂點(diǎn)A和對(duì)邊BC，用三角尺的一條直角邊與三角形的一條邊重合，另一條直角邊慢慢平移到頂點(diǎn)，然后畫(huà)一條垂直線段，作上直角標(biāo)志，AD就是三角形的高，高一般畫(huà)成虛線，BC就是三角形的底。

師：同學(xué)們，看清楚了嗎？你能將我們剛才介紹的畫(huà)高方法用簡(jiǎn)短的話語(yǔ)歸納一下嗎？

生3：重合底與一條直角邊，移動(dòng)量角器重合頂點(diǎn)與另一條直角邊，畫(huà)一條垂直線段，標(biāo)上直角標(biāo)志。

生4：一合二移三畫(huà)四標(biāo)。

師：這個(gè)畫(huà)高的方法有沒(méi)有給你一種似曾相識(shí)的感覺(jué)，我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)哪個(gè)知識(shí)中也用到過(guò)？

生5：畫(huà)垂線段。

生6：過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂直線段。

師：按照這個(gè)方法，給它再圍上兩條線段就變成了畫(huà)三角形的高了。

生7：原來(lái)我們學(xué)習(xí)的知識(shí)之間竟然有這么神奇的聯(lián)系！

師：結(jié)合剛才畫(huà)高的過(guò)程，同桌交流一下什么是三角形的高。

生8：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對(duì)邊叫作三角形的底。

生9：我覺(jué)得三角形的頂點(diǎn)到它的對(duì)邊的垂直線段就是三角形的高。

師：現(xiàn)在我將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)了一下，你還能找到BC底邊上的高嗎？

生10：我在心中去掉了AB和AC兩條邊，就跟過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的垂線方法一樣。

師：那如果我再旋轉(zhuǎn)一下，你還能找到嗎？

生11：還是找到頂點(diǎn)A，向?qū)呑饕粭l垂直線段。

師：通過(guò)這幾次三角形的位置變化，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生12：不管三角形的位置怎么變，只要從頂點(diǎn)A向?qū)匓C作一條垂直線段，就是三角形的高。

生13：不管三角形位置如何擺放，只要是從三角形的頂點(diǎn)出發(fā)，向?qū)呑鞯倪@條垂直線段就是三角形的高……

師：我們找到了BC邊上的高，那你覺(jué)得這個(gè)三角形只有這一條高嗎？先思考一下。

生14：我認(rèn)為是1條。

生15：不對(duì)，我認(rèn)為有3條，3條邊就有3條。

生16：我想補(bǔ)充，因?yàn)槿切斡?個(gè)頂點(diǎn)和3條對(duì)邊，從一個(gè)頂點(diǎn)就能向?qū)呑饕粭l高，所以三角形就有3條高。

師（課件補(bǔ)充完整3組高和底）：現(xiàn)在有了這么多的高和底，你還分得清哪條高和底相對(duì)應(yīng)嗎？

生17：高和底是一組一組地出現(xiàn)的，一條底對(duì)應(yīng)著一條高。

師：那就請(qǐng)你畫(huà)出練習(xí)紙中指定邊上的高吧。（故意地）我找不到這個(gè)直角三角形的高在哪里！

生18：直角三角形的一條直角邊是底，另外一條直角邊是它對(duì)應(yīng)的高。

師：這個(gè)鈍角三角形的高在哪里呢？

生19：它的高只要任意畫(huà)一條垂直線段就好了。

生20：不對(duì)，這條底的高應(yīng)該從對(duì)面的頂點(diǎn)出發(fā)作它的垂直線段，只是這條高“跑”到三角形的外面去了。

師：你形容得真貼切！

感悟特殊的高

師：同學(xué)們，真了不起，我們都能順利地找到三角形中的高了。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)看，老師這里還有一個(gè)三角形，我把這個(gè)三角形放在兩條平行線之間，現(xiàn)在如果讓這個(gè)頂點(diǎn)A沿著這條平行線跑動(dòng)，請(qǐng)同學(xué)們想象一下，會(huì)發(fā)生什么情況？

生1：三角形的形狀會(huì)發(fā)生變化。

生2：三角形的面積變了。

生3：三角形的高會(huì)左右移動(dòng)，有可能會(huì)跑到外面去。

師：和你們的猜測(cè)一樣嗎？現(xiàn)在我要慢慢移動(dòng)頂點(diǎn)，請(qǐng)你們仔細(xì)觀察三角形的高，它的位置發(fā)生了什么變化嗎？高從外面到里面會(huì)經(jīng)過(guò)哪個(gè)地方？

生4：原來(lái)三角形的高不僅可以在三角形的里面，還可以在三角形的外面。

生5：三角形的高有時(shí)還會(huì)和它的一條邊重合。

生6：三角形的底不變，高的位置會(huì)隨著頂點(diǎn)的位置變化而變化。

（關(guān)于三角形的研究繼續(xù)深入下去）……

?課后反思

著手起點(diǎn)：在備課之前，我對(duì)本校四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行過(guò)三角形概念的前測(cè)，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是從三角形的組成和特性去定義三角形的概念，缺乏合乎邏輯地對(duì)三角形的概念進(jìn)行定義。教材中是采用發(fā)生式定義方式介紹三角形的概念，而學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)概念定義的發(fā)生過(guò)程，自然無(wú)法形成正確的三角形概念定義。因此在教學(xué)中，我特別重視三角形概念的發(fā)生過(guò)程，通過(guò)拼一拼、畫(huà)一畫(huà)三角形等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在操作感悟中得出三角形概念的定義，實(shí)現(xiàn)概念的有效建構(gòu)。

著力難點(diǎn)：學(xué)生在形成三角形高概念的過(guò)程中容易受到非本質(zhì)屬性的影響，因此需要教師通過(guò)教學(xué)行為，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的關(guān)注，凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵。所以課堂中我先讓學(xué)生在頭腦中想象三角形高的形成過(guò)程，然后經(jīng)過(guò)三角形不斷旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無(wú)論三角形的位置如何變化，高就是從頂點(diǎn)出發(fā)到對(duì)邊的一條垂線段，真正厘清三角形高的本質(zhì)，從而建立三角形高的概念。隨后借助幾何畫(huà)板移動(dòng)，讓學(xué)生直觀地看到三角形頂點(diǎn)和高是同步移動(dòng)的，從而認(rèn)識(shí)和感知特殊的高。

著眼結(jié)點(diǎn)：三角形高的理解掌握過(guò)程需要對(duì)三角形“三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)角”的基本特征與“高”的概念之間建立相應(yīng)的聯(lián)系，并認(rèn)識(shí)到與其他圖形不同，三角形的高需要畫(huà)在三個(gè)特定的位置，故三角形的“底”和“高”規(guī)定為3組，這樣就能形成知識(shí)的整體性，最終形成完整的概念建構(gòu)。而三角形的高的前概念就是四年級(jí)畫(huà)垂線，這就需要教師在教學(xué)中有意識(shí)地將畫(huà)三角形高這個(gè)新概念納入到學(xué)生已有的概念結(jié)構(gòu)中。教學(xué)中，我將畫(huà)垂線與畫(huà)高方法的結(jié)合，就更好地將學(xué)生所學(xué)的“概念點(diǎn)”織成“概念網(wǎng)”，構(gòu)建出畫(huà)高的模型。

（作者單位系浙江省寧波市北侖區(qū)小港實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

《中國(guó)教師報(bào)》2019年05月15日第5版